Un algoritmo recursivo es un algoritmo que expresa la solución de un problema en términos de una llamada a sí mismo. La llamada a sí mismo se conoce como llamada recursiva o recurrente.
Generalmente, si la primera llamada al subprograma se plantea sobre un problema de tamaño u orden N, cada nueva ejecución recurrente del mismo se planteará sobre problemas, de igual naturaleza que el original, pero de un tamaño menor que N. De esta forma, al ir reduciendo progresivamente la complejidad del problema que resolver, llegará un momento en que su resolución sea más o menos trivial (o, al menos, suficientemente manejable como para resolverlo de forma no recursiva). En esa situación diremos que estamos ante un caso base de la recursividad.
Las claves para construir un subprograma recurrente son:
- Cada llamada recurrente se debería definir sobre un problema de menor complejidad (algo más fácil de resolver).
- Ha de existir al menos un caso base para evitar que la recurrencia sea infinita.
Es frecuente que los algoritmos recurrentes sean más ineficientes en tiempo que los iterativos aunque suelen ser mucho más breves en espacio.
Un método frecuente para simplificar es dividir un problema en problemas derivados de menor tamaño del mismo tipo. Esto se conoce como dialecting. Como técnica de programación se denomina divide y vencerás y es pieza fundamental para el diseño de muchos algoritmos de importancia, así como parte esencial de la programación dinámica.
Hemos visto muchos casos de recursividad en clase, uno de ellos, por ejemplo, y siguiendo con los algoritmos de ordenamiento, es el denominado QuickSort:
Elegir un elemento de la lista de elementos a ordenar, al que llamaremos pivote.
Resituar los demás elementos de la lista a cada lado del pivote, de manera que a un lado queden todos los menores que él, y al otro los mayores. Los elementos iguales al pivote pueden ser colocados tanto a su derecha como a su izquierda, dependiendo de la implementación deseada. En este momento, el pivote ocupa exactamente el lugar que le corresponderá en la lista ordenada.
La lista queda separada en dos sublistas, una formada por los elementos a la izquierda del pivote, y otra por los elementos a su derecha.
Repetir este proceso de forma recursiva para cada sublista mientras éstas contengan más de un elemento. Una vez terminado este proceso todos los elementos estarán ordenados.
Como se puede suponer, la eficiencia del algoritmo depende de la posición en la que termine el pivote elegido.
En el mejor caso, el pivote termina en el centro de la lista, dividiéndola en dos sublistas de igual tamaño. En este caso, el orden de complejidad del algoritmo es O(n·log n).
En el peor caso, el pivote termina en un extremo de la lista. El orden de complejidad del algoritmo es entonces de O(n²). El peor caso dependerá de la implementación del algoritmo, aunque habitualmente ocurre en listas que se encuentran ordenadas, o casi ordenadas. Pero principalmente depende del pivote, si por ejemplo el algoritmo implementado toma como pivote siempre el primer elemento del array, y el array que le pasamos está ordenado, siempre va a generar a su izquierda un array vacío, lo que es ineficiente. En el caso promedio, el orden es O(n·log n).
No es extraño, pues, que la mayoría de optimizaciones que se aplican al algoritmo se centren en la elección del pivote.
Otro ejemplo son las construcciones de fractales, donde el mismo motivo es repetido de forma continua:
Enlace al proyecto
El clásico juego de las Torres de Hanoi. El problema, puesto de forma simple, es el siguiente: Dadas 3 pilas, una con un conjunto de N discos de tamaño creciente, determina el mínimo (óptimo) número de pasos que lleva mover todos los discos desde su posición inicial a otra pila sin colocar un disco de mayor tamaño sobre uno de menor tamaño.
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